自身の『①：１ターンに１度、エクストラデッキの融合モンスター１体を相手に見せ、そのモンスターにカード名が記されている融合素材モンスター１体をデッキから墓地へ送って発動できる。エンドフェイズまで、このカードはこの効果を発動するために墓地へ送ったモンスターと同名カードとして扱う』モンスター効果によって、「E・HERO プリズマー」のカード名が「青眼の白龍」として扱われています。

この状況で、その「E・HERO プリズマー」が戦闘または相手のカードの効果によって破壊された時、「ディープアイズ・ホワイト・ドラゴン」の『①：自分フィールドの表側表示の「ブルーアイズ」モンスターが戦闘または相手の効果で破壊された時に発動できる。このカードを手札から特殊召喚し、自分の墓地のドラゴン族モンスターの種類×６００ダメージを相手に与える』モンスター効果を発動する事はできますか？

質問の状況のように、カード名が「青眼の白龍」として扱われている状態の「E・HERO プリズマー」が戦闘または相手のカードの効果によって破壊された時であれば、『自分フィールドの表側表示の「ブルーアイズ」モンスターが戦闘または相手の効果で破壊された時』にあたりますので、手札の「ディープアイズ・ホワイト・ドラゴン」のモンスター効果を発動する事ができます。