自分フィールドに、機械族の「古代の機械魔神」と、戦士族の「No.86 H－C ロンゴミアント」が存在し、２体にはそれぞれ自身の『他のカードの効果を受けない』効果が適用されています。

この状況で相手の「拮抗勝負」の効果の処理時を行う際、相手フィールドのカードが「拮抗勝負」だけなのであれば、自分は「古代の機械魔神」「No.86 H－C ロンゴミアント」のどちらかを裏側表示で除外しなければなりませんか？

どちらかを裏側表示で除外しなければなりません。

「拮抗勝負」の効果の処理時には、相手プレイヤーに『自分フィールドのカードの数と同じになるように、相手は自身のフィールドのカードを選んで裏側表示で除外しなければならない』効果を適用します。その適用の結果として相手が自身のフィールドのカードを裏側表示で除外することになります。この場合、処理時に行われる除外は、効果による除外として扱われません。
したがって、罠カードの効果を受けないモンスターであっても裏側表示で除外することになります。また、この状況は"罠カードの効果でカードが裏側表示で除外された"状況として扱われません。

以下のカードの効果についても「拮抗勝負」と同様に、該当の手札やフィールドや墓地のカードに適用する効果ではありません。
「アポクリフォート・キラー」
「轟の王 ハール」
「Evil★Twins キスキル・リィラ」
「サイバー・エンジェル－荼吉尼－」
「サイバー・エンジェル－伊舎那－」
「いろはもみじ」
「超化合獣メタン・ハイド」
「魔鍵憑霊－ウェパルトゥ」
「痛み分け」
「深淵の宣告者」
「六花の風花」
「異種闘争」
「絶滅の定め」
「禁断の異本」
「イタチの大暴発」
「獣烈な争い」
「ベアルクティ・クィントチャージ」
「六世壊根清浄」
「台貫計量」
「転轍地点」
「トリックスター・ライトステージ」
「バブル・クラッシュ」
「千年の啓示」