自分の魔法＆罠ゾーンに「マクロコスモス」が表側表示で存在し、『このカードがフィールド上に存在する限り、墓地へ送られるカードは墓地へは行かずゲームから除外される』効果が適用されています。

この状況で、自分が「妖精伝姫－カグヤ」の『②：１ターンに１度、相手フィールドの表側表示モンスター１体を対象として発動できる。相手はそのモンスターの同名カード１枚を自身のデッキ・エクストラデッキから墓地へ送ってこの効果を無効にできる。墓地へ送らなかった場合、このカードと対象のモンスターを持ち主の手札に戻す。この効果は相手ターンでも発動できる』モンスター効果を発動し、相手のモンスターゾーンに表側表示で存在する「月光舞猫姫」を対象としました。

この時、相手プレイヤーは『相手はそのモンスターの同名カード１枚を自身のデッキ・エクストラデッキから墓地へ送ってこの効果を無効にできる』処理を行う事はできますか？

質問の状況の場合、「マクロコスモス」の効果が適用されており、墓地へ送られるカードは墓地へは行かず除外されます。

この場合、「妖精伝姫－カグヤ」のモンスター効果の処理の際に、相手プレイヤーは『相手はそのモンスターの同名カード１枚を自身のデッキ・エクストラデッキから墓地へ送ってこの効果を無効にできる』処理を行う事はできず、『墓地へ送らなかった場合、このカードと対象のモンスターを持ち主の手札に戻す』処理が適用される事になります。
（自身のデッキやエクストラデッキに同名カードが存在していたとしても、その同名カードをデッキから選ぶ事自体行いません。）