自分が「堕天使イシュタム」、「堕天使テスカトリポカ」、「堕天使マスティマ」、「堕天使アムドゥシアス」の『②：１０００LPを払い、自分の墓地の「堕天使」魔法・罠カード１枚を対象として発動できる。その魔法・罠カードの効果を適用する。その後、墓地のそのカードをデッキに戻す。この効果は相手ターンでも発動できる』モンスター効果を発動した際に、対象として墓地の「背徳の堕天使」を選択しました。

その発動にチェーンして「スキルドレイン」が発動した場合、効果処理はどうなりますか？

「堕天使イシュタム」等のモンスター効果は、対象として選択した「堕天使」と名のついた魔法・罠カードの発動が行われる扱いではありません。
「堕天使イシュタム」等のモンスター効果の処理として、対象に選択した「堕天使」と名のついた魔法・罠カードのテキストに記された効果処理が行われます。

したがって、質問の状況の場合、チェーンして発動した「スキルドレイン」の効果によって、「堕天使イシュタム」等のモンスター効果が無効化されますので、『その魔法・罠カードの効果を適用する』処理も、『その後、墓地のそのカードをデッキに戻す』処理も適用されません。