自分のターンにて、「ゴブリンドバーグ」を召喚しました。
この時、自分は召喚した「ゴブリンドバーグ」の効果と、手札の「カゲトカゲ」の効果を発動し、また、相手は「激流葬」を発動しようとしています。

この場合、それぞれの効果はどのように処理しますか？

質問の状況の場合、まず、召喚された「ゴブリンドバーグ」の効果を自分が発動するかどうかを決める事になります。

この場合、「ゴブリンドバーグ」の効果を発動し、お互いに他のカードの効果を発動したい、という状況ですので、チェーンのルールに則って、次にカードの効果を発動できるのは相手プレイヤーとなり、「激流葬」を先に発動する事になります。
最後に、手札の「カゲトカゲ」の効果を発動する事になります。

したがって、この場合、以下のようにチェーンが組まれます。
チェーン１：自分の「ゴブリンドバーグ」の効果の発動
チェーン２：相手の「激流葬」の発動
チェーン３：自分の「カゲトカゲ」の効果の発動