「水精鱗－メガロアビス」の自身を特殊召喚する効果を発動する際に、コストとして「海皇の狙撃兵」を捨てました。
この場合、どのように処理を行いますか？

また、この状況で相手は「奈落の落とし穴」を発動する事はできますか？

「水精鱗－メガロアビス」の自身を特殊召喚する効果を発動した場合、コストとして「海皇の狙撃兵」を捨てた場合でも、「海皇の狙撃兵」の効果はすぐに発動しません。
チェーン1として「水精鱗－メガロアビス」の特殊召喚する効果が発動し、その効果に対しての「天罰」等の発動があるかどうかを確認します。

その「水精鱗－メガロアビス」を特殊召喚する処理が完了した後に、特殊召喚に成功した「水精鱗－メガロアビス」のカードを手札に加える効果と手札から捨てられた「海皇の狙撃兵」の効果をチェーンを組んで発動します。
（その際のチェーンの組み方は、必ず発動する「海皇の狙撃兵」がチェーン1、任意で発動できる「水精鱗－メガロアビス」の効果がチェーン2になります。）

なお、相手プレイヤーが「奈落の落とし穴」を発動したい場合には、ここでチェーン3として発動する事になります。