自分の「アビスケイル－ケートス」がモンスターに装備され、表側表示で存在しています。

その状況にて、相手が「アビスフィアー」などの永続罠カードを裏から表にして発動した場合、「アビスケイル－ケートス」の効果はどのように適用されますか？

「アビスケイル－ケートス」が自分フィールド上に存在する時に、相手が永続罠カードを裏から表にして発動した場合、その永続罠カードが発動した際のチェーンブロックにて行われる処理のみが無効になり、その処理後に「アビスケイル－ケートス」は墓地へ送られる事になります。
「アビスケイル－ケートス」が墓地へ送られた後、その永続罠カードの表側表示で存在する限り適用される効果などは通常通り適用される状態に戻ります。

したがって、質問の状況の場合、「アビスフィアー」を裏から表にして発動していますので、そのチェーンブロックにて適用される『デッキから「水精鱗」と名のついたモンスター１体を特殊召喚する』処理のみが「アビスケイル－ケートス」の効果によって無効になりますが、発動している「アビスフィアー」自体は墓地へ送られず、フィールド上に残る事になります。（「アビスケイル－ケートス」は処理が適用され墓地へ送られます。）
処理が適用され、「アビスケイル－ケートス」が墓地へ送られた後、「アビスフィアー」の効果は通常通り適用される状態に戻りますので、『このカードがフィールド上に存在する限り、自分は魔法カードを発動できない』処理、『このカードは発動後、次の相手のエンドフェイズ時に破壊される』の処理は通常通り適用される事になります。