手札の「灰流うらら」を捨てて、効果を発動しました。

その発動にチェーンして、自分が「輪廻のパーシアス」の『①：モンスターの効果・魔法・罠カードが発動した時、手札のカウンター罠カード１枚を相手に見せ、手札を１枚捨て、１０００LPを払って発動できる。その発動を無効にし、そのカードを持ち主のデッキに戻す。その後、デッキ・EXデッキから「パーシアス」モンスター１体を選んで特殊召喚できる』効果を発動した場合、処理はどうなりますか？

「灰流うらら」の効果の発動は無効になりますが、『そのカードを持ち主のデッキに戻す』処理は行われません。

「灰流うらら」の効果は、手札で発動できるモンスター効果ですが、効果を発動した「灰流うらら」自身はコストとして手札から捨てられており、処理時には、発動したところである手札には存在しなくなっています。

この場合、『その発動を無効にし』の処理は適用されますが、『そのカードを持ち主のデッキに戻す』処理は適用されず、『その後、デッキ・EXデッキから「パーシアス」モンスター１体を選んで特殊召喚できる』処理も適用されません。

「灰流うらら」の効果の発動にチェーンして、以下の効果を発動した場合も同様に、「灰流うらら」の効果の発動は無効になりますが、効果を発動したところ（手札）に存在しなくなった「灰流うらら」がデッキに戻ることはありません。
「イビリチュア・ネーレイマナス」
「ストールターン」
「壱世壊に澄み渡る残響」
「竜星の九支」