自分は「ヴァレルロード・ドラゴン」の『③：このカードが相手モンスターに攻撃するダメージステップ開始時に発動できる。その相手モンスターをこのカードのリンク先に置いてコントロールを得る。そのモンスターは次のターンのエンドフェイズに墓地へ送られる』モンスター効果によって、相手の表側攻撃表示の「リンクスレイヤー」のコントロールを得ています。

その後に発動した「月の書」の効果によって、その「リンクスレイヤー」が裏側守備表示になり、次のターンのエンドフェイズを迎えた際に、処理はどうなりますか？

「ヴァレルロード・ドラゴン」のモンスター効果によってコントロールを得たモンスターは、次のターンのエンドフェイズに墓地へ送られる事になります。

しかしながら、質問の状況の場合、「ヴァレルロード・ドラゴン」のモンスター効果によってコントロールを得たモンスター（＝質問の状況の場合、「リンクスレイヤー」）が裏側守備表示になった事で、『そのモンスターは次のターンのエンドフェイズに墓地へ送られる』効果の適用はなくなりますので、エンドフェイズに墓地へ送られる事はなく、自分は相手モンスターのコントロールを得たままの状態になります。