自分のターンのエンドフェイズに「ブレインハザード」を発動し、除外されている「Kozmo－フェルブラン」を対象としました。

その「Kozmo－フェルブラン」の特殊召喚に成功した時に、『②：自分・相手のエンドフェイズに５００LPを払って発動できる。デッキから「Kozmo」カード３種類を相手に見せ、相手はその中からランダムに１枚選ぶ。そのカード１枚を自分の手札に加え、残りは墓地へ送る』モンスター効果をただちに発動する事はできますか？

「Kozmo－フェルブラン」の『そのカード１枚を自分の手札に加え、残りは墓地へ送る』モンスター効果は、自分及び相手のエンドフェイズに発動する事ができる誘発効果となりますが、特殊召喚に成功した際に発動するモンスター効果ではありませんので、質問の状況のように、エンドフェイズ中に「ブレインハザード」の効果によって特殊召喚に成功した場合でも、ただちにそのモンスター効果を発動する事はできません。

質問の状況の場合、「ブレインハザード」の効果処理が完了した際に、優先権に従ってターンプレイヤーから順にクイックエフェクトの発動を行う事ができます。
何らかのクイックエフェクトの発動が行われた場合、それらの処理が完了した後に、「Kozmo－フェルブラン」の『そのカード１枚を自分の手札に加え、残りは墓地へ送る』モンスター効果を発動する事ができます。
（クイックエフェクトの発動が行われなかったのであれば、そのまま「Kozmo－フェルブラン」の『そのカード１枚を自分の手札に加え、残りは墓地へ送る』モンスター効果を発動する事ができます。）

例えば、「Kozmo－フェルブラン」が特殊召喚に成功した際に、相手が「激流葬」を発動した場合には、「Kozmo－フェルブラン」は破壊されフィールドに存在しなくなっていますので、『そのカード１枚を自分の手札に加え、残りは墓地へ送る』モンスター効果は発動できません。