自分が「古代の機械飛竜」の召喚・特殊召喚に成功した時に、『①：このカードが召喚・特殊召喚に成功した場合に発動できる。デッキから「古代の機械飛竜」以外の「アンティーク・ギア」カード１枚を手札に加える。この効果の発動後、ターン終了時まで自分はカードをセットできない』モンスター効果を発動しました。

その発動にチェーンして相手が「手違い」を発動し、『このカードがフィールド上に存在する限り、お互いにドロー以外の方法でデッキからカードを手札に加える事はできない』効果が適用された場合、効果処理はどうなりますか？

質問の状況の場合、「手違い」の効果によって、デッキからカードを手札に加える事ができなくなっていますので、「古代の機械飛竜」のモンスター効果によって、デッキから「アンティーク・ギア」と名のついたカードを手札に加える事はできません。
（デッキからカードを選ぶ事自体行いません。）

なお、その場合でも、『この効果の発動後、ターン終了時まで自分はカードをセットできない』効果は適用されます。