自分の魔法＆罠ゾーンに「古代の機械要塞」が表側表示で存在し、『②：「アンティーク・ギア」カードの効果の発動に対して、相手は魔法・罠・モンスターの効果を発動できない』効果が適用されています。

この状況で、相手が「古代の機械飛竜」の召喚・特殊召喚に成功した際に、『①：このカードが召喚・特殊召喚に成功した場合に発動できる。デッキから「古代の機械飛竜」以外の「アンティーク・ギア」カード１枚を手札に加える。この効果の発動後、ターン終了時まで自分はカードをセットできない』モンスター効果を発動しました。

この場合、魔法・罠・モンスターの効果を発動する事はできますか？

質問の状況のように、相手が召喚した「古代の機械飛竜」のモンスター効果の発動も、「アンティーク･ギア」と名のついたカードの効果の発動にあたりますので、「古代の機械要塞」の『②：「アンティーク・ギア」カードの効果の発動に対して、相手は魔法・罠・モンスターの効果を発動できない』効果が適用されます。

この場合も、「古代の機械要塞」を発動しているプレイヤーから見て相手はチェーンして魔法・罠・モンスターの効果を発動する事はできません。
（「古代の機械要塞」を発動しているプレイヤーはチェーンして魔法・罠・モンスターの効果を発動する事はできます。）