自分のスタンバイフェイズに、魔法＆罠ゾーンにセットされている「鬼くじ」を裏から表にして、カードの発動のみを行いました。

この場合、このスタンバイフェイズに、その「鬼くじ」の『①：自分スタンバイフェイズにこの効果を発動する。相手はカードの種類（モンスター・魔法・罠）を宣言する。自分のデッキの一番上のカードをめくり、めくったカードが宣言した種類のカードだった場合、相手はデッキから１枚ドローする。違った場合、相手の手札をランダムに１枚選んで捨てる。めくったカードはデッキの一番下に戻す』効果は発動しなければなりませんか？

自分のスタンバイフェイズに、「鬼くじ」が自分の魔法＆罠ゾーンに表側表示で存在しているのであれば、その効果は必ず発動しなければなりません。

したがって、質問の状況のように、自分のスタンバイフェイズに「鬼くじ」のカードの発動のみを行った場合、そのスタンバイフェイズの間に、その「鬼くじ」の効果の発動も行わなければなりません。