相手フィールドに元々の持ち主が相手の「強化支援メカ・ヘビーウェポン」が３体存在しています。

この状態で、「強化支援メカ・ヘビーウェポン」１体を対象として、自分が「怨邪帝ガイウス」の『①：このカードがアドバンス召喚に成功した場合、フィールドのカード１枚を対象として発動する。そのカードを除外し、相手に１０００ダメージを与える』効果を発動した場合、『除外したカードが闇属性モンスターカードだった場合、そのコントローラーの手札・デッキ・エクストラデッキ・墓地から同名カードを全て除外する』処理はどうなりますか？

質問の状況の場合でも、「怨邪帝ガイウス」の効果を発動する事はできます。

その場合、対象となった「強化支援メカ・ヘビーウェポン」１体を除外し、相手に１０００ダメージを与えます。
除外した「強化支援メカ・ヘビーウェポン」は闇属性モンスターカードですが、除外したカードを含み、同名カードが既に３体存在しており、相手の手札・デッキ・エクストラデッキ・墓地のいずれにも同名カードは存在していません。

この場合、『除外したカードが闇属性モンスターカードだった場合、そのコントローラーの手札・デッキ・エクストラデッキ・墓地から同名カードを全て除外する』処理は結果的に適用されません。対象のモンスターを除外し、ダメージを与えた処理にて処理が完了した扱いとなります。
（「怨邪帝ガイウス」の効果は相手の手札やデッキの内容を確認する効果ではありませんので、相手の手札やデッキの内容を確認する事はできません。）