相手の魔法＆罠ゾーンに「次元の裂け目」が表側表示で存在し、『①：このカードが魔法＆罠ゾーンに存在する限り、お互いの墓地へ送られるモンスターは墓地へは行かず除外される』効果が適用されています。

この状況で、自分は「E・HERO オネスティ・ネオス」のそれぞれのモンスター効果を発動する事はできますか？

「次元の裂け目」の効果が適用されている場合でも、手札の「E・HERO オネスティ・ネオス」のモンスター効果を発動する事はできます。
コストとして手札から捨てた「E・HERO オネスティ・ネオス」自身は墓地へは送られず除外されますが、『そのモンスターの攻撃力はターン終了時まで２５００アップする』効果処理は通常通り適用されます。

また、「次元の裂け目」の効果が適用されている場合でも、モンスターゾーンに表側表示で存在する「E・HERO オネスティ・ネオス」のモンスター効果を発動する事はできます。
コストとして手札から捨てた「HERO」と名のついたモンスターは墓地へは送られず除外されますが、『このカードの攻撃力はターン終了時まで、捨てたモンスターの攻撃力分アップする』効果処理は通常通り適用されます。