前の自分のターンにて、「ドリル・ウォリアー」が『１ターンに１度、自分のメインフェイズ時に発動できる。手札を１枚捨ててこのカードをゲームから除外する』効果によって除外されています。

次の自分のターンのスタンバイフェイズにて、その「ドリル・ウォリアー」の『次の自分のスタンバイフェイズ時、この効果で除外したこのカードを自分フィールド上に特殊召喚する。その後、自分の墓地のモンスター１体を選んで手札に加える』効果の発動にチェーンして「スキルドレイン」が発動した場合、「ドリル・ウォリアー」の効果処理はどうなりますか？

「ドリル・ウォリアー」の『次の自分のスタンバイフェイズ時、この効果で除外したこのカードを自分フィールド上に特殊召喚する。その後、自分の墓地のモンスター１体を選んで手札に加える』効果は、自身の効果で除外されている際に発動して適用される一連の効果処理となります。

したがって、「スキルドレイン」が適用されている場合でも、『その後、自分の墓地のモンスター１体を選んで手札に加える』処理も含めて、通常通り適用されます。