相手のモンスターゾーンに「ライオウ」が表側表示で存在し、『このカードが自分フィールド上に表側表示で存在する限り、お互いにドロー以外の方法でデッキからカードを手札に加える事はできない』モンスター効果が適用されています。

この状況で、自分は「紫宵の機界騎士」の『②：自分フィールドの「ジャックナイツ」モンスター１体を対象として発動できる。そのモンスターを次の自分ターンのスタンバイフェイズまで除外し、デッキから「紫宵の機界騎士」以外の「ジャックナイツ」モンスター１体を手札に加える。この効果は相手ターンでも発動できる』モンスター効果を発動する事はできますか？

質問の状況の場合、「ライオウ」のモンスター効果が適用されており、『デッキから「紫宵の機界騎士」以外の「ジャックナイツ」モンスター１体を手札に加える』処理を適用する事ができませんので、「紫宵の機界騎士」のモンスター効果を発動する事自体ができません。

なお、発動した「紫宵の機界騎士」のモンスター効果の処理時に、「ライオウ」のモンスター効果が適用されているような場合には、『そのモンスターを次の自分ターンのスタンバイフェイズまで除外し』の処理は適用されますが、『デッキから「紫宵の機界騎士」以外の「ジャックナイツ」モンスター１体を手札に加える』処理は適用されません。