自分は「キャッスル・リンク」の『①：１ターンに１度、自分メインフェイズにフィールドのリンクモンスター１体を対象として発動できる。そのモンスターの位置を、そのモンスターのリンク先のメインモンスターゾーンに移動する（そのモンスターから見て相手のフィールドには移動できない）』効果を発動し、自分のメインモンスターゾーンに存在する「ハニーボット」を対象としました。

その発動にチェーンして相手は「エネミーコントローラー」の『●自分フィールドのモンスター１体をリリースし、相手フィールドの表側表示モンスター１体を対象として発動できる。その表側表示モンスターのコントロールをエンドフェイズまで得る』効果を発動し、対象の「ハニーボット」のコントロールを得ました。

この場合、効果処理はどうなりますか？

「キャッスル・リンク」の効果で移動する対象としたリンクモンスターは、チェーンして発動した「エネミーコントローラー」の効果によって効果処理時にコントロールが移っていたとしても、効果処理が通常通り適用される事になります。

質問の状況の場合、相手のメインモンスターゾーンにコントロールが移っている「ハニーボット」は、そのリンクマーカーが指し示す左右のメインモンスターゾーンのどちらか空いている方のゾーンを選んで移動します。
（なお、「キャッスル・リンク」の効果で「ハニーボット」を移動したとしても、「エネミーコントローラー」の効果の適用がなくなる事はありませんので、このターンのエンドフェイズに「エネミーコントローラー」の効果の適用がなくなった際に、「ハニーボット」は自分のメインモンスターゾーンにコントロールが戻ります。）