相手の魔法＆罠ゾーンに「スキルドレイン」が表側表示で存在し、その『このカードがフィールド上に存在する限り、フィールド上の全ての効果モンスターの効果は無効化される』効果によって、自分のモンスターゾーンに表側攻撃表示で存在する「召喚獣カリギュラ」のモンスター効果が無効化されています。

この状況で、自分が「シャドール・リザード」の『②：このカードが効果で墓地へ送られた場合に発動できる。デッキから「シャドール・リザード」以外の「シャドール」カード１枚を墓地へ送る』モンスター効果を発動し、その効果によって墓地へ送られた「シャドール・ビースト」の『②：このカードが効果で墓地へ送られた場合に発動できる。自分はデッキから１枚ドローする』モンスター効果を発動しました。

この時、「シャドール・ビースト」のモンスター効果の発動にチェーンして「サイクロン」が発動し、「スキルドレイン」が破壊された場合、発動した効果はどうなりますか？

質問の状況の場合、「スキルドレイン」が「サイクロン」の効果で破壊された事によって、「召喚獣カリギュラ」の『①：このカードがモンスターゾーンに存在する限り、その間はお互いに、それぞれ１ターンに１度しかモンスターの効果を発動できず、それぞれバトルフェイズにモンスター１体でしか攻撃できない』モンスター効果が再び適用されます。

既に自分は「シャドール・リザード」のモンスター効果を発動していますので、「シャドール・ビースト」のモンスター効果の発動は、2度目のモンスター効果の発動になります。
しかしながら、「召喚獣カリギュラ」の『それぞれ１ターンに１度しかモンスターの効果を発動できず』の効果は、モンスター効果の発動が1度しか行えなくなる効果ですので、既に行われたモンスター効果の発動を無効にする効果ではありません。
したがって、「シャドール・ビースト」のモンスター効果は通常通り適用されますが、それ以降、このターンに自分はモンスターの効果を発動する事はできなくなります。