自分は「No.78 ナンバーズ・アーカイブ」の『①：１ターンに１度、このカードのX素材を１つ取り除いて発動できる。自分のエクストラデッキのカードを相手はランダムに１枚選ぶ。それが「No.1」～「No.99」のいずれかの「No.」モンスターだった場合、自分フィールドのこのカードの上に重ねてX召喚扱いとしてエクストラデッキから特殊召喚する。この効果で特殊召喚したモンスターはエンドフェイズに除外される。この効果の発動後、ターン終了時まで自分はモンスターを特殊召喚できない。この効果は相手ターンでも発動できる』モンスター効果によって、「No.10 白輝士イルミネーター」をエクストラデッキから特殊召喚しています。

その状況で、エンドフェイズを迎えた場合、処理はどうなりますか？

「No.78 ナンバーズ・アーカイブ」のモンスター効果は、『この効果で特殊召喚したモンスターはエンドフェイズに除外される』処理を適用する際に、チェーンブロックは作られません。

質問の状況の場合、エンドフェイズに重ねられた「No.10 白輝士イルミネーター」が除外される事になります。

なお、効果を発動した「No.78 ナンバーズ・アーカイブ」を含む、「No.10 白輝士イルミネーター」のエクシーズ素材となっていたカードは墓地へ送られる事になります。