ドローフェイズに発動した「手札断殺」の効果によって、「アークブレイブドラゴン」が手札から墓地へ送られました。

この場合、このターンのスタンバイフェイズに、墓地へ送られた「アークブレイブドラゴン」の『②：このカードが墓地へ送られた次のターンのスタンバイフェイズに、「アークブレイブドラゴン」以外の自分の墓地のレベル７・８のドラゴン族モンスター１体を対象として発動できる。そのモンスターを特殊召喚する』モンスター効果が発動する事はできますか？

質問の状況の場合、「アークブレイブドラゴン」がドローフェイズにて墓地へ送られていますが、そのターンのスタンバイフェイズには「アークブレイブドラゴン」のモンスター効果は発動しません。

「アークブレイブドラゴン」のモンスター効果は、「アークブレイブドラゴン」自身が墓地へ送られた、その次のターンのスタンバイフェイズに発動する事ができます。
（したがって、ドローフェイズにて墓地へ送られた場合でも、そのターンのスタンバイフェイズに効果を発動する事はできません。効果を発動する事ができるのはその次のターンのスタンバイフェイズになります。）