自分が「古代の機械飛竜」の召喚・特殊召喚に成功した時、『①：このカードが召喚・特殊召喚に成功した場合に発動できる。デッキから「古代の機械飛竜」以外の「アンティーク・ギア」カード１枚を手札に加える。この効果の発動後、ターン終了時まで自分はカードをセットできない』モンスター効果を発動しました。

その後、そのターン中に相手は「皆既日蝕の書」を発動し、「古代の機械飛竜」を裏側守備表示にする事はできますか？

召喚・特殊召喚に成功した「古代の機械飛竜」のモンスター効果を発動しているターンには、そのプレイヤーは『カードをセットできない』状態となります。

質問の状況のように、相手が発動した「皆既日蝕の書」の『フィールドの表側表示モンスターを全て裏側守備表示にする』効果によって、「古代の機械飛竜」のモンスター効果を発動している自分のモンスターが裏側守備表示になる場合は、「皆既日蝕の書」を発動したプレイヤーの効果によってセットが行われますので、自分がカードのセットを行う扱いにはなりません。

したがって、相手プレイヤーは「皆既日蝕の書」を通常通り発動する事ができ、効果処理も適用されます。
（「古代の機械飛竜」を含むモンスターゾーンの全てのモンスターを裏側守備表示にします。）